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Mínimo Múltiplo Comum
Problema
Numa árvore de Natal, um grupo de lâmpadas acende de 10 em 10 segundos
e um outro grupo acende de 12 em 12 segundos.
À meia-noite acenderam-se os dois grupos de lâmpadas.
Quantos segundos depois voltam a acender-se simultaneamente os dois
grupos de lâmpadas?
Resolução
- Um grupo de lâmpadas acende de 10 em 10 segundos:
sequência dos múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...
- O outro grupo de lâmpadas acende de 12 em 12 segundos:
sequência dos múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72...
Como se pretende saber o tempo mínimo ao fim do qual as lâmpadas
voltam a acender-se simultaneamente, vamos calcular o menor múltiplo
comum de 10 e 12, diferente de zero - o mínimo múltiplo comum:
m.m.c. (10, 12) = 60
(lê-se mínimo múltiplo comum de 10 e 12 é 60)
Ou seja, as lâmpadas voltam a acender simultaneamente 60 segundos
depois.
O mínimo múltiplo comum de 10 e 12 pode também ser obtido por outro
processo, que analisaremos de seguida.
Cálculo do m.m.c. de dois números decompostos em factores primos
Neste processo, procede-se do seguinte modo:
- Decompõem-se os números em factores primos:
Cálculo do m.m.c. de dois números
decompostos em factores primos:
- Para calcular o m.m.c. (10, 12), escolhem-se os factores primos comuns
e não comuns com o maior expoente e efectua-se o seu produto.
Neste exemplo,
m.m.c. (10, 12) = 22 ×3 ×5 = 60
- O mínimo múltiplo comum de dois números naturais é o menor número, diferente
de zero, que é múltiplo desses números.
- O mínimo múltiplo comum de dois números decompostos em factores primos é o
produto dos factores primos comuns e não comuns tomados com o maior expoente:vv
m.m.c. (75, 270)
m.m.c. (75, 270) = 2 ×33 × 52 = 2 × 27 ×25 = 1350
- Quando dois números são primos entre si, o mínimo múltiplo comum desses números é o produto deles:
4 e 5 são números primos entre si porque:
m.d.c. (4, 5) = 1 logo m.m.c. (4, 5) = 4 ×5 = 20
Retirado de Mat 8, de Elza Gouveia Durão e Maria Margarida Baldaque,
Texto Editora
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Matemática 8.º Ano
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